si chiama aritmetica modulare o delle congruenze, affinché quelle espressioni abbiano significato se ne deduce che bisogna specificare il loro modulo cioè il numero intero n per il quale la differenza delle due parti dell'uguaglianza è pari a un multiplo di n.
In buona sostanza il modulo 12 o il modulo 24 sono usati nell'orologio, per cui
6+7=1 (mod 12) perché (6+7)-1=12 cioè in pratica si ricomincia a contare non appena superato il valore del modulo o di un suo multiplo.
così 5+4=2 mod 7 ecc
Lungi dall'essere un giochetto banale tipo l'orologio, grazie all'aritmetica modulare si possono dimostrare teoremi. Per esempio si dimostra che l'equazione x^3+7y^3=2 non ha soluzioni con x e y interi.
grazie a un precedente teorema si dimostra che se esiste soluzione con x e y interi sarebbe la stessa di quella di questa equazione nell'aritmetica modulo 7. Ma nell'aritmetica modulo 7 7y^3 darebbe contributo 0 perché sarebbe un multiplo di 7, allora l'equazione si ridurrebbe a x^3=2 . Ma nell'aritmetica modulo 7 i valori di x^3 possono essere solo 0,1 e 6 non 2 per cui l'equazione non ha soluzione con x e y interi c.v.d.
(1^3=1) ( 2^3=1 mod 7) (3^3=6 mod 7) (4^3=1 mod 7) (5^3=6 mod 7) ecc.
https://it.wikipedia.org/wiki/Aritmetica_modulare
